加法交换律(小学数学教师数学读本(19)——加法交换律(一))

加法交换律

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虽然人教版四年级上册“加法交换律”是学生第一次探索运算定律,但其实在一年级到三年级的学习中,常常涉及交换加数位置和不变的情况,例如加法解决问题的一题多解,加法的验算等等。那么本节课应该教什么,学生又能从本节课取得什么收获呢?
基于上述思考,本片段更多侧重数学规律猜想验证的过程体验和经验积累。引导学生从几个算式中发现现象,提出猜想:在加法中,是否交换加数的位置,和一定不变呢?接着,用不同的方法进行验证。不管是计算、画图、还是说理,殊途同归,最终统一于加法的本质,把几个数合并为一个数,只要这几个数的大小不发生改变,不管先后顺序如何,合并在一起后,和都不变,学生达成共识,形成结论。接着再利用结论解释现实世界中的现象,解决实际问题,提升应用意识。这样,学生经历了观察、猜想、验证、归纳、应用的完整的数学化过程,形成了基本的数学探究方法,对于后续的学习将大有裨益。
小学数学教师数学读本(19)——加法交换律(一)
加法交换律
写在前面的话:反对教加法交换律
我是反对在小学教学生学习加法交换律的。
原因之一在于,象加法交换律这样的东西,如果不追求深刻的理解,就是个简单得不能再简单的东西。若追求深刻的理解,就是个很复杂的东西。在很简单与很复杂之间几乎没有中间状态。也就是说,如果我们不给小学生教加法交换律,他们也能理解(尽管不深刻)并能运用。如果我们教小学生加法交换律,他们也不能做到更深刻一些的理解。
原因之二在于,我们通常教加法交换律的方法,其实已经陷入了一个逻辑问题之中:我们的教法通常是让学生举例验证。比如46+59是否等于59+46,如何验证呢?计算46+59,6+9=15…,再计算59+46,9+6=……9+6等于多少来着?哦,对了,我们在一年级的时候就学过了,9+6和6+9一样,也是15……您注意过没有,我们在验证加法交换律的过程中,就应用了交换律。
象加法交换律这样的东西,只有到了抽象的研究运算时才值得注意。抽象的研究运算是什么时候呢?数学专业有一门课程,叫抽象代数,也叫近世代数。学这门课的时候开始抽象的研究运算。其实您也可以回忆一下。小学之后,您在初中,高中教材中还看到哪里正儿八经的提交换律吗?高中讨论集合的交也并的时候,也许会谈一谈。高中选修课中讲对称也群时会认真谈,因为这门选修课就已经到了抽象代数了。
我们数学老师,当然可以试着深刻的理解一下。接下来就谈自然数加法满足交换律。
说明:我们只谈自然数,以后的数和数的运算,都建议在自然数及其运算的基础上。自然数的问题解决了,其他数的问题不难解决。
现在来谈加法交换律
回忆一下加法的意义
应该回忆一下,我们已经用归纳的方法定义了两个数相加的意义。举例并形象的说,48+121是什么意思?得慢慢说:因为皮亚诺公理,48在自然数队伍中有一个确定的位置。它是47的后继数(你若实在不喜欢后继数这个名字,就说成是后面那个吧),你问我48+121是什么意思?这样说吧,因为48是47的后继数,这事你得找47+121,如果把这个确定了,那它后面那个,就是48+121(您要不回头再看看这几句话?)没错!我们就是说48+121是在47+121的基础上定义的。那又来了,47+121呢?肯定是在46+121的基础上定义的:47+121是46+121的后面那个。如此往上,最终……慢点,先别最终,先问问1+121呢?告诉你吧:1+121就是0+121后面那个(看到没?在不停的踢皮球)那0+121呢?这回只能直接回答了:0+121就是121.哦,现在一切都好了。0+121是121,1+121是0+121(从而就是121)后面那个(皮亚诺公理告诉我们,121后面那个是确定的),2+121又是1+121后面那个,这样下去,47+121就是确定的了:47+121是0+121(也就是121)的后面那个的后面那个的后面那个的……后面那个(想想,有多少个后面吧),其实每个数加121都是确定的了(后面的个数不同而已),进一步,任意两人个数相加都是确定的了(找不同的数的后面的后面的……如此而已)。把这件事写得规范一点,就是加法的归纳定义。查查本号昨天发的文章?
加法交换律之一
加法交换律:对于任意的自然数a和b,有a+b=b+a。
我们将利用公理5,用数学归纳法证明这个结论。为此,我们把加法交换律理解为对任意的自然数b,以下的系列命题均成立(用数学的行话是:固定b,对a作归纳):
0+b=b+0
1+b=b+1
2+b=b+2
3+b=b+3
……
为了证明这无限多个命题均成立,按数学归纳法原理,我们要完成以下两项工作:
一、证明这些命题中的第一个成立。
二、再证明:若这些命题中的某一个成立,比如k+b=b+k成立,那么这个命题的下一个命题也成立,即有(k+)+b=b+(k+)(这里的k+指k的后继)。
(还记得我们讲过的传染源和传染性的事吗?不记得了或者没看过?查查本号历史信息!)
我们依次来完成第两项工作,首先:
证明:对于任何自然数n,有n+0=0+n。
我们定义了0+n=n,所以要证明n+0=0+n,只要证明n+0=n。
我们将继续用归纳法来证明这个结论。并且,将继续把证明写得罗嗦一点。甚至不太象规范的证明,目的还是把数学归纳法的思想实质表达得明白一些。
要证明对于任何自然数n,有n+0=n,事实上就是要证明以下一系列命题:
0+0=0
1+0=1
2+0=2
3+0=3
……
上述第一个命题(即0+0=0)显然是成立的,因为这就是加法的定义——对任何m,0+m=m,只要让m取0就行了。
若上述中的某一个命题成立,比如k+0=k成立,我们来看看它的下一个命题,即(k+)+0=k+是否成立。我们将证明:如果k+0=k成立,那么(k+)+0=k+也成立。
根据定义:(k+)+0=(k+0)+,而 k+0=k成立,所以:
(k+)+0=(k+0)+=k+
根据数学归纳法原理,对于任意的自然数n,有n+0=n,从而n+0=0+n。
只能讲这么多,第二件事明天再做